Zone de Texte: Tempéraments musicaux et spirales logarithmiques

 

 

 

 


 

Au commencement les musiciens cherchèrent à découper l’octave en morceaux et ils virent que cela n’était pas bon

du tout…

Il allèrent donc voir un mathématicien du nom de Pythagore (le même que celui du Théorème) qui s’était spécialisé dans l’effraction, vous ne pouvez pas voir le rapport il est irrationnel, il leur découpa donc l’octave en 7 morceaux ….,si vous voulez prendre des notes c’est le moment.

 

Dans la page sur Pi Phi Kheops et compagnie je vous ai parlé du Nautile qui flottait en compagnie des langoustines dans les eaux bien tempérées par nos claviers . Ici je vous propose d’envisager la bébête comme le faisaient les Egyptiens c’est à dire de profil. Est ce pour autant que le profil est bon ? C’est à vous d’en juger.

 

On va faire tourner un triangle autour de sa pointe   , mais à chaque fois que l’on reproduira le triangle sur une feuille de papier il sera un petit peu plus grand ; le coté AU étant recouvert par le coté AE du triangle suivant, les triangles demeurant homothétiques ( homothétie de centre A  et de rapport 21/N puis rotation de –  ) même après plusieurs tours complets ce qui devrait nous donner une spirale plus proche de l’ammonite que du nautile mais bon, Amon bon quand même.

 

Homothétique : Gros mot d’origine mathématique, ( restez quand même sinon vous ne pourrez pas donner à manger au nautile), signifiant que c’est le même mais en plus petit ou en plus grand et qu’en plus dans le cas qui nous intéresse il partage le même sommet A.

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zone de Texte: Il s’agit de trouver le triangle générateur de la spirale logarithmique correspondant au nombre de parties découpant l’octave. 
  (Les angles sont exprimés en degré)

Ê= Arctan( (21/N. sin(360/N)) / (1-((21/N)2-(21/N sin(360/N))2)1/2)

Pour un tempérament découpant l’octave en douze parties : N=12   et   Â=360/12=30°

Ê=arctan ( (21/12 . sin 30 )   /    ( 1-(21/6 –(21/6 . (Sin 30 )2))1/2  )   

                     Ê=81°9’                                        Û=180°-Â-Ê=68°51’

Voilà nous connaissons le triangle générateur nous pouvons construire la « spirale logarithmique » le facteur d’échelle étant donné par AU/AE vaut  21/12 soit environ 1.0595 base du tempérament tempéré.
 
Pour représenter le tempérament de Huygens (31 parties) nous obtenons :

Ê=Arctan( (21/31 . sin 360/31)   /    ( 1-(22/31 –(22/31 . (Sin 360/31 )2))1/2  )   

Cette fois nous obtenons Ê= 89°32’        Â=11°37’     Û=78°51’
 

 


                                                                                                                                                                                         

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

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Accord de quinte chez le nautile de Bach

 

L’octave , un tour complet est découpé en 12 parties, sur cette horloge un peu spéciale l’accord de quinte fait correspondre deux heures distantes de sept heures, ici midi et sept heures (7 demi-tons). Si l’on fait correspondre midi et cinq heures ou trois heures avec huit heures on aura un accord de quarte (5 demi-tons) etc. … La gamme tempérée est la seule où la coquille du nautile est bien lisse, coquillage nickel-chrome ou l’on n’entend plus la mer because keine vagues, la spirale n’a pas de défaut et c’est là la faiblesse de sa cuirasse. On augmente la taille de chaque triangle de 6% environ (le « environ » permet de réintroduire les défauts)., la fréquence de la note est mesurée par l’éloignement du centre, plus on est loin du centre plus la note est aiguë. ( Pour ce qui est des planètes de la musique des sphères, il s’agit d’un malentendu puisque personne ne les entend, leur vitesse décroît en fait en fonction de leur éloignement, Aire de Kepler*, avant lui les musiciens et autres érudits croyaient que les planètes supérieures tournaient très très rapidement et donc donnaient une note très aiguë). Ici les triangles blancs  sont isocèles le vrai triangle générateur est (81°, 30°, 69°) voir la formule en haut du document.

Dans la tradition Hindoue, il est un coquillage senestre qui, réveillé à la fin des temps donnera à l’humain la connaissance véritable. Notre nautile ammonite s’enroule dans ce sens, il croit dans le sens des aiguilles d’une montre ; dans la nature le vrai nautile a un plan de symétrie vertical ( il n’a pas de sens d’enroulement), mais il remonte le temps coincé entre un infini trop petit et un fini en devenir car à la différence de l’argonaute , le nautile est un joli maçon qui construit lui-même sa maison.

* Dans le même temps,  les planétes balayent la même aire , et la mémére , on la brûle à cause de son balai…

 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

Zone de Texte:  
LA DIVINE PROPORTION , bonne fille et bon tempérament
(figure ci dessous quelques tempéraments parmi les plus connus)
Nom          Partie    Fib   Suite de Lucas                   Rapport                    
                                                  
Pythagore           7               0              7                 Pythagore  / Bach                    0.5833         - 0.035  
Bach                  12               1            11                Bach          / Zarlin                     0.6316         + 0.014
Zarlin                  19              1             18               Zarlin          / Huygens               0.6129          -  0.005   
Huygens             31              2             29               Huygens    / Henfling                0.62              + 0.002  
Henfling              50              3             47               Henfling     / Roger                   0.6173          - 0.0007
Roger                 81              5             76               

DIVINE PROPORTION        1/Phi                                                                                     0.618034
 

La plupart des noms de tempérament dont on crédite habituellement  les auteurs ci dessus, sont abusivement attribués. Ni Bach ni Zarlin et encore moins Huygens ne sont les auteurs des tempéraments qu’on leur prête mais comme on ne prête qu’aux riches j’ai préféré leur laisser leurs étiquettes et contribuer ainsi à laisser leurs véritables inventeurs se reposer à l’ombre, une ombre fraîche comme l’est parfois celle des jeunes filles en fleurs …. de tournesol . Ces derniers disposent eux aussi de quelques belles spirales log que notre imagination leur prête. (On peut bien leur prêter une trentaine de spirales gauches et une vingtaine de droites on les pressent assez comme ça  de plus ces spirales n’ont pas « d’existence objective « et résultent d’une illusion optique ou plutôt d’une préférence organisatrice du cortex visuel, mais ce qui relie les humains et si ténu et si rare qu’il vaut mieux en prendre soin. Belle préférence aussi puisque sans elle notre curiosité ne serai pas éveillée au mystère de la Divine proportion.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 Le tableau  ci dessous donne le rapport de fréquence d’un tempérament en 46 parties fondé sur le nombre d’or. Je ne suis pas musicien et donc je ne peux me prononcer sur la qualité produite par ce système de notes toutes les fréquences des notes sont des puissances de Phi, avec le triangle ci dessus ajusté pour 46 parties on pourra dessiner le Nautile d’or, trophée non encore décerné.

 

 

 

 


 

Zone de Texte: LA DIVINE PROPORTION et le partage de l'octave en 46 parties 
                                     Tempérament  Phi 

Base  exposant  note/do          Cent

Phi^   0/32 :  1.0000000         0.00         Do
Phi^   1/32 :  1.0151515        26.03
Phi^   2/32 :  1.0305325        52.06
Phi^   3/32 :  1.0461467        78.10
Phi^   4/32 :  1.0619974       104.13
Phi^   5/32 :  1.0780882       130.17
Phi^   6/32 :  1.0944229       156.20
Phi^   7/32 :  1.1110050       182.23
Phi^   8/32 :  1.1278384       208.27          ré
Phi^   9/32 :  1.1449269       234.30
Phi^  10/32 :  1.1622743       260.34
Phi^  11/32 :  1.1798845       286.37
Phi^  12/32 :  1.1977615       312.40
Phi^  13/32 :  1.2159094       338.44
Phi^  14/32 :  1.2343322       364.47
Phi^  15/32 :  1.2530342       390.51          mi
Phi^  16/32 :  1.2720196       416.54
Phi^  17/32 :  1.2912926       442.57
Phi^  18/32 :  1.3108576       468.61
Phi^  19/32 :  1.3307191       494.64          fa  
Phi^  20/32 :  1.3508815       520.68
Phi^  21/32 :  1.3713494       546.71
Phi^  22/32 :  1.3921274       572.74
Phi^  23/32 :  1.4132202       598.78
Phi^  24/32 :  1.4346327       624.81
Phi^  25/32 :  1.4563695       650.85
Phi^  26/32 :  1.4784357       676.88
Phi^  27/32 :  1.5008362       702.91          sol
Phi^  28/32 :  1.5235762       728.95
Phi^  29/32 :  1.5466606       754.98
Phi^  30/32 :  1.5700949       781.02
Phi^  31/32 :  1.5938842       807.05
Phi^  32/32 :  1.6180339       833.09
Phi^  33/32 :  1.6425496       859.12
Phi^  34/32 :  1.6674367       885.15          la
Phi^  35/32 :  1.6927009       911.19
Phi^  36/32 :  1.7183478       937.22
Phi^  37/32 :  1.7443834       963.26
Phi^  38/32 :  1.7708134       989.29
Phi^  39/32 :  1.7976439       1015.3
Phi^  40/32 :  1.8248810       1041.3
Phi^  41/32 :  1.8525307       1067.3
Phi^  42/32 :  1.8805993       1093.4           si
Phi^  43/32 :  1.9090932       1119.4
Phi^  44/32 :  1.9380188       1145.4
Phi^  45/32 :  1.9673827       1171.5
Phi^  46/32 :  1.9971916       1197.5           ut



Je ne pouvais pas vous parler du nombre d’Or sans vous proposer un tempérament musical s’y rapportant. Ce n’est pas parce qu’il est basé sur la Divina Proportionne qu’il donne une gamme riche et agréable, si l’on veut conserver les notes traditionnelles , certains tons valent 7 parties( sol la) et d’autres 8 parties( la si ), cela pose donc quelques problèmes, si vous êtes musicien vous pouvez peut être la tester sur des logiciels qui permettent les modifications de fréquences de la gamme.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 


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