Perspective
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Zone de Texte:   LES  SPIRALES  DE  LA  PEINTURE

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Zone de Texte: Prenons comme unité le millimétre

Traçons un rectangle d’or : exemple 123 mm par 199 mm
Traçons les axes de la spirale à 27,64% des bords
Avec le compas traçons les quarts de cercle avec une augmentation de l’ouverture suivant la série vue au dessus 3 4 7 11 etc… en déplaçant la pointe sèche du compas alors que la mine reste en place .
On trace le quart de cercle de maniére à ce qu’il s’arréte tangent à la verticale ou à l’horizontale .
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Tableau  comparatif de  la longueur de la spirale d’or et  de celle de Fibonacci

 
 

 


Grande LARGEUR du rectangle d’or

Somme des quarts de cercle

Longueur de la spirale Fibonacci

Longueur de la spirale d’or

1/Phi

Moitie de Pi

1.571

1.564

1

Moitié de Pi Phi

2.541

    2.531

Phi

Moitié de Pi Phi Phi

4.111

4.095

Phi Phi

Moitié de Pi Phi Phi Phi

6.654

6.626

L=395 mm       l=244 mm

395 / 2 * pi * Phi

Rayons (1.2 , 2 , 3.2 , 5.2 , 8.4 ….. 150.8 , 244)

  1.004m

1m

 

Zone de Texte: Remarques :

On voit sur le tableau ci dessus que la véritable spirale logarithmique , la spirale d’or , est plus courte que la spirale de Fibonnacci de quatre pour mille . Notre propos ici n’est pas d’obtenir ici la véritable spirale d’or dont le tracé est assez difficile à obtenir mais une spirale que l’on puisse tracer facilement et qui s’en approche assez bien.
La véritable spirale d’or ne comporte pas d’arc de cercle ou d’ellipse. On ne peut donc la construire avec les outils habituels mais en dehors de la gravure sur métal et pour des petites dimensions , cette construction fera l’affaire.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Zone de Texte: Une autre manière …

Squelette pentagonal pour la construction
d’une spirale approchant la spirale d’or .
Dans cette construction , le rayon des arcs
de cercle  est multiplié après chaque
rotation de 72 ° par  Phi 0.8 soit environ 147%.

La spirale produite est plus proche de la
spirale logarithmique que la spirale de Fibonacci 

Avec d’autres polygones :
Hexagonal    Phi 2/3	  60°
Heptagonal   Phi 4/7	     51° 26’ …
Octogonal    Phi 0.5	      45° 
Décagonal	 Phi 0.4       36° 
Etc…Plus le nombre de côtés est important ,
 meilleure est l’approximation de la spirale.


Phi ~ 1.618034	   Phi 0.8 ~ 1.46957				    72 °




* Il convient de mettre une majuscule à Phi (1.618034 ) pour le distinguer de phi  (-0.618034)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


                        

        SPIRALE D’OR  ET SPIRALE DE FIBONACCI

 

HAUT

 
Zone de Texte: SPIRALES LOGARITHMIQUES

Cette variété est assez répandue dans la nature, coquillage, mollusque, Nautile Escargot,
C’est une spirale de construction (Coquille) mais aussi d’implantation ( Phyllotaxie ).
Si l’on tourne d’une heure dans une spirale de ce genre , la taille du rayon augmente d’un pourcentage constant .
	    Exemple : Représentons la sur le cadran d’une horloge pour nous repérer.
Le rayon de la spirale à midi fait 10 cm, à une heure il fait 11 cm, à deux il fait 11*110/100 soit 12,1 cm .  Sa taille augmente de 10% par heure ; dans ce cas le rayon de la spirale est multiplié par 1.112 par tour , soit 3,14 fois environ. ( Coïncidence : ce nombre n’ayant rien à voir avec pi )

L’augmentation de la taille par heure peut être bien-sûr très différente ; si elle est de 17,4% alors nous avons affaire à une spirale logarithmique très spéciale puisque ce n’est autre que la spirale d’or celle de la coquille du nautile.
La spirale inflationniste est une spirale logarithmique très irrégulière , mais en supposant qu’il s’agisse d’une spirale d’or et en prenant cette fois une année par tour, cela représenterait une inflation de 685% par an.

On pourrait également représenter la croissance de la population humaine planétaire par une spirale log en prenant cette fois un siècle par tour on ne serait peut être en deçà d’une spirale d’or et ce serait naturel, l’humain étant dans la nature sans y être vraiment.
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Zone de Texte: Une approche de la construction  de l’ellipse d’or